V tomto textu se čtenáři seznámí se základními pojmy funkcionální analýzy, disciplíny, která v sobě sjednocuje výsledky a metody řady klasicikých matematických disciplín (algebry, geometrie, analýzy), nachází a zvýrazňuje jejich společné rysy a dále je zobecňuje. Funkcionální analýza proniká do nejrůznějších odvětví matematiky a jejich aplikací a vytváří matematický aparát umožňující formulovat (a také řešit) i velmi složité problémy praxe.
Předkládaný text je prvním seznámením s parciálními diferenciálními rovnicemi, které tvoří jeden z nejmocnějších nástrojů matematického modelování problémů reálného světa. Naším cílem je, aby čtenář pochopil, co to je parciální diferenciální rovnice, jak vzniká a proč je potřeba ji řešit. Chceme také, aby pochopil základní principy, které pro jednotlivé typy parciálních diferenciálních rovnic platí, a osvojil si některé klasické metody jejich řešení.
Cílem předkládaného textu je vysvětlit, že existence a násobnost řešení okrajových úloh parciálních diferenciálních rovnic závisí na funkčním prostoru, v němž tato řešení hledáme. Čtenář bude seznámen se základními poznatky z teorie prostorů diferencovatelných funkcí, integrovatelných funkcí, teorií distribucí a teorií Sobolevových prostorů. Teoretické poznatky jsou pak aplikovány při studiu existence řešení základních typů diferenciálních rovnic.
Cílem tohoto textu je uvést čtenáře do problematiky modelování elektromagnetických polí a jejich následného řešení moderními numerickými metodami. Čtenář by měl získat představu o základních fyzikálních zákonech v elektromagnetismu, o jejich kompaktní podobě ve formě Maxwellových rovnic, o matematické klasifikaci případů těchto rovnic, o nutnosti správné volby
"Pane profesore, zazpíváme si!" :-) Tak i tohoto se může čtenář dočkat v modulu Diskrétní transformace. Mimo to se seznámí s zobecněnými Fourierovými řadami, diskrétními verzemi konvoluce, Fourierovy, okenní Fourierovy a waveletovy transformace a s technikami frekvenční, časově-frekvenční analýzy, filtrace a komprese signálů apod. včetně efektivních implementací jednotlivých transformací. V závěru pak následuje popis Z-transformace a jejího využití k řešení soustav diferenčních rovnic.
V tomto textu se čtenáři seznámí s Lebesgueovou mírou a integrálem, distribucemi a jejich derivacemi, Sobolevovými prostory, se slabou formulací různých typů eliptických okrajových úloh, s podmínkami jejich řešitelnosti a se základními vlastnostmi slabých řešení. Správné pochopení těchto pojmů je nezbytným předpokladem úspěchu při řešení nejrůznějších inženýrských úloh.
Herbář funkcí je přehledový soubor vybraných funkcí. Každé funkci v herbáři je věnován jeden list, který obsahuje definici funkce, její graf a základní vlastnosti či často používané vztahy. Herbář obsahuje reálné funkce jedné a dvou reálných proměnných a komplexní funkce. Kromě základního souboru funkcí je možno v herbáři najít také integrální funkce či funkce s pozoruhodnými vlastnostmi.
Cílem vytvořených materiálů je oživit výuku dvojných a trojných integrálů. Jedná se o interaktivní výukový materiál složený z testů, párovacích her, her typu Riskuj a odkrývání obrázku. Velký důraz je kladen na pochopení geometrického významu studovaných pojmů a proto jsou hry plné obrázků a interaktivních 3D modelů.
Tento text slouží pro podporu výuky předmětu Funkce komplexní proměnné a integrální transformace, který je vyučován v 1. ročníku magisterského studia na Fakultě elektrotechniky a informatiky VŠB-Technické univerzity Ostrava. Jeho vznik byl podpořen projektem MI21 - Matematika pro inženýry 21. století, http://mi21.vsb.cz.
V tomto modulu se čtenář seznámí se základy diferenciálního a integrálního počtu komplexních funkcí komplexní proměnné; krásné disciplíny založené (především) na výsledcích C. F. Gausse, L. A. Cauchyho, B. Riemanna a C. T. W. Weierstrasse. Ukáže se překvapivá souvislost mezi holomorfními funkcemi (tj. funkcemi majícími derivaci), křivkovými integrály a speciálními (tj. mocninnými a Laurentovými) řadami funkcí.
Už před mnoha staletími si (někteří) lidé uvědomovali, že není úplně jasné, jak sečíst nekonečně mnoho čísel a že tuto znalost potřebují.
V připravovaném textu se studenti seznámí nejen s definicí a základními pojmy tzv. číselných řad a s kritérii jejich konvergence, ale dozví se i něco o sčítání nekonečně mnoha (reálných) funkcí, a to včetně Taylorových řad.
V připravovaném textu se studenti seznámí se základními pojmy integrálního počtu funkcí více proměnných. Naučí se různé techniky výpočtu dvojných a trojných integrálů (Fubiniova věta, substituce do polárních, cylindrických a sférických souřadnic).
Dále se studenti dozví, jak mohou být dvojné a trojné integrály využity ve fyzice (souřadnice těžiště tělesa, statické momenty, momenty setrvačnosti).
Učební text „Obyčejné diferenciální rovnice“ představuje sice elementární, ale zato poměrně podrobný úvod do z jedné z nejzajímavějších matematických disciplín. Dílo se zabývá tzv. diferenciálními rovnicemi, ve kterých roli neznámých sehrávají funkce, které se v těchto rovnicích vyskytují spolu s jejich derivacemi.
Text obsahuje základní poznatky z diferenciálního a (hlavně) integrálního počtu vektorových funkcí. Čtenář se dozví, co jsou to křivky a plochy (a proč zde nevystačíme s pouhou intuicí), jak se na nich definují a počítají integrály ze skalárních i vektorových funkcí a jak se tyto pojmy uplatní v aplikacích. Součástí textu jsou i základní věty vektorové analýzy, tj. Greenova, Gaussova-Ostrogradského a Stokesova věta.
Jaromír Kuben, Šárka Mayerová, Pavlína Račková, Petra Šarmanová
V textu jsou vyloženy základní partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných jako limita a spojitost, parciální a směrové derivace, diferenciál, Taylorův polynom, lokální a globální extrémy, implicitní funkce a vázané extrémy.
