Integrální transformace

Tento text slouží pro podporu výuky předmětu Funkce komplexní proměnné a integrální transformace, který je vyučován v 1. ročníku magisterského studia na Fakultě elektrotechniky a informatiky VŠB-Technické univerzity Ostrava. Jeho vznik byl podpořen projektem MI21 - Matematika pro inženýry 21. století, http://mi21.vsb.cz.

V celé řadě technických úloh se setkáváme s potřebou analyzovat funkce, jejichž průběh se pravidelně opakuje. Příkladem jsou funkce, které popisují periodické děje v různých fyzikálních procesech (chvění konstrukcí, ustálený pohyb pístu spalovacích motorů, ustálené točivé pohyby). Jako vhodný prostředek k jejich analýze se ukázala metoda rozvíjející danou periodickou funkci v nekonečnou trigonometrickou řadu, tzv. Fourierovu řadu. Její definice, vlastnosti a příklady použití k harmonické analýze signálů jsou náplní první kapitoly.

V technické praxi se rovněž často setkáváme s úlohami, které vedou na řešení diferenciálních nebo integro-diferenciálních rovnic (analýza napětí v součásti při jejím zatěžování, průběh proudu v elektrických obvodech, rozložení teploty v tělese při jeho zahřívání). Ve druhé kapitole se proto zaměříme na řešení diferenciálních rovnic pomocí účinného nástroje nazvaného Laplaceova transformace, který umožňuje transformovat dané diferenciální a integro-diferenciální rovnice na čistě algebraické rovnice, čímž se významně zjednoduší proces hledání řešení. Po zavedení Laplaceovy transformace následuje výčet jejích vlastností, realizace zpětné Laplaceovy transformace a ilustrace užití na příkladech z oblasti elektrotechniky a regulačních systémů.

Jako výuková pomůcka je pro studenty připravena interaktivní  obrazovková verze. Níže naleznete 8 souborů, které reflektují na témata Fourierových řad a Laplaceovy transformace. Každé téma odpovídá látce probrané ve dvou přednáškách a má jak výkladovou část, tak korespondující autotest.