Doktorský studijní program

Samotný výzkum v oblasti aplikované matematiky byl zahájen  v roce 1992 prakticky ihned po vzniku Katedry aplikované matematiky. Výzkum byl od počátku spojen s matematickými problémy vznikající při řešením praktických úloh. Například:

Výzkum v oblasti hraničních integrálních rovnic a jejich numerického řešení je motivován potřebou efektivního řešení vnějších úloh či okrajových úloh s hraničními nerovnostmi jako šíření hluku, elektromagnetického pole, kontaktní úlohy mechaniky, úlohami tvarové optimalizace  a dalšími problémy.

Výzkum diskrétních dynamických systémů je motivován potřebami analýzy rotorů, výzkum numerických metod řešení extrémně velkých úloh je motivován potřebami Národního superpočítačového centra, řešení velkých diskretizovaných problémů je typicky motivováno řešením rozsáhlých úloh mechaniky, kontaktní mechaniky a geomechaniky.

Témata statistiky jsou motivovány analýzou lékařských dat, spolehlivostí rozvodných sítí či jiných multi-komponentních systémů, témata výzkumu v diskrétní matematice jsou motivovány problémy vznikajícími při masívně paralelní implementaci některých algoritmů atd.

Současný výzkum charakterizující publikace pracovníků Katedry aplikované matematiky a následující témata doktorských prací:

  • paralelní časo-prostorová (4D) BEM pro vlnovou rovnici
  • časo-prostorová diskretizace na bázi nespojité Galerkinovy metody pro parabolické rovnice vedení tepla a proudění tekutin
  • analýza podmíněností klastrů s aplikacemi ve vývoji masívně paralelních H-TFETI algoritmů
  • metoda hraničních prvků vyšších řádů a Gassovou-Čebyševovou integrací singulárních jader
  • 3d smíšená elastickou FEM, která je robustní vůči locking efektům
  • Urychlení elasto-dynamických simulací pomocí paralelizace
  • kompozitní FEM pro modelování trhlin (v rámci FEI ve spolupráci s Fraunhofer IWU Chemnitz
  • FEM-BEM metoda pro modelování tváření plechů elektromagnetickým polem
  • variační metody pro úlohy typu minimax
  • adaptace optimálních QP algoritmů na řešení úloh optimálního řízení s dlouhým horizontem
  • řešení úloh tvarové optimalizace pro kontaktní úlohy se třením (zejména Coulombovým)
  • optimalizaci minimálního nejvyššího odchozího stupně v orientaci grafu (orientace hrají roli při paralelizaci numerických výpočtů
  • studium řídkých grafů
  • výpočty elektronové struktury molekul a molekulových komplexù, modelování kvantových efektů v jaderných stupních volnosti či modelování neadiabatické srážkové dynamiky molekul
  • paralelní implementace nedávno vyvinutých algoritmů pro výpočet elektronové struktury molekul v Hartree-Fockově aproximaci s využitím tenzorových metod a moderních optimalizačních algoritmů
  • kvantifikaci a kvalifikaci dynamických vlastností reakčně difuzních modelů
  • využití škálovatelných TFETI algoritmů pro masívně paralelní registraci 3D objektů a aplikacemi v lékařství
  • vývoj metod modelování spolehlivosti energetických sítí
  • aplikace metod analýzy diskrétních dynamických systémů na dynamiku rotorů

Část těchto témat je nejen motivována, ale dokonce vznikla na ostatních katedrách FEI nebo se zabývá matematickým aspektem problematiky, která je součástí jejich zaměření. Jako příklady uveďme  kompozitní FEM pro modelování trhlin a FEM-BEM metodu pro modelování tváření plechů elektromagnetickým polem, které jsou součástí spolupráce většiny kateder FEI s Fraunhoferovým ústavem IWU Chemnitz, adaptace optimálních QP algoritmů na úlohy optimálního řízení (Kybernetika), paralelní 3D registrace obrazu (Informatika, Biomedicínské inženýrství), spolehlivost energetických sítí (Energetika) atd. Na doplnění uveďme, že některá témata jsou motivována problémy, které se řeší na jiných fakultách či v Národním superpočítačovém centru, což je bezprostřední důsledek specifické úlohy oboru Výpočetní a aplikovaná matematika na VŠB.

 

Příklady doktorských prací

Martin Čermák: Efficient solvers for modeling and simulation of elasto-plastic material behavior

Práce se zabývá návrhem algoritmu pro efektivní paralelní řešení elasto-plastických problémů se zpevněním, který je založený na metodě rozložení oblasti typu TFETI. V práci jsou uvažovány tři různé elasto-plastické modely: von Mises model s izotropním zpevněním, von Mises model s kinematickým zpevněním a Drucker-Prager dokonale plastický model. Tyto modely jsou v čase diskretizovány implicitní Eulerovou metodou a výsledný elasto-plastický problém jednoho časového kroku je diskretizovaný metodou konečných prvků. Výsledkem po prostorové diskretizaci je systém nelineárních rovnic s rovnostními nebo nerovnostními omezeními. Pro řešení tohoto nelineárního systému je použita semi-hladká Newtonova metoda. Odpovídající linearizované problémy vznikající v každé Newtonově iteraci jsou řešeny paralelně metodou TFETI.

Navržený algoritmus byl implementován paralelně v Matlabu a jeho efektivita včetně paralelní a numerické škálovatelnosti jsou ilustrovány na příkladech elasto-plastického chování ve 2D a 3D. Dále jsou v práci prezentovány a diskutovány numerické výsledky pro různé časové diskretizace a úrovně zjemnění sítě a také je zde pozorována lokální kvadratická konvergence semi-hladké Newtonovy metody.

 

Numerické řešení mnoha inženýrských úloh vede na minimalizaci konvexní kvadratické funkce s rovnostními popř. nerovnostními omezeními – tzv. úlohu kvadratického programování. Tato práce se zabývá vývojem a implementací algoritmů s obrovským počtem neznámých pro úlohy kvadratického programování zejména s nerovnostními omezeními složitějšími než lineárními jako jsou např. kontaktní úlohy se třením se sférickými či eliptickými nerovnostními omezeními, nebo úlohy granulární dynamiky využívající metodu diskrétních prvků (DEM) nebo diferenciální variační nerovnice (DVI) - viz. obrázek. V DVI metodě úloha kvadratického programování s lineárním nerovnostním omezením musí být řešena v každém časovém kroku simulace, neznámými zde jsou normálové kontaktní síly mezi tělesy. V případě, že uvažujeme i Coulombovské tření, obržíme úlohu kvadratického programování se separovatelnými kónickými omezeními, odpovídající neznámé pak reprezentují třecí kontaktní síly. Efektivita jednotlivých algoritmů implementovaných v CUDĚ byla porovnána na řadě testovacích benchmarků.

Rozvoj paralelních počítačů vede k novým impulsům v numerické matematice. V případě řešení parciálních diferenciálních rovnic popisujících fyzikální pole je paralelizace na úrovni 3D geometrie již velmi dobře zvládnutá a snažíme se ji kombinovat s paralelizací v čase. Nejobecnější přístup je nahradit tradiční časové řezy (semi-diskretizace) Galerkinovou metodou pro celý prostoročas. Metoda hraničních prvků je k tomu velmi vhodná, neboť se zde diskretizuje pouze hranice těles a prostoročas tak má pouze 3 dimenze. Cenou za to je zaplnění matic výsledných soustav lineárních rovnic. V rámci této dizertační práce se podařilo implementovat paralelní prostoro-časovou metodu hraničních prvků pro vlnovou rovnici (akustiku). K paralelizaci byl využit hybridní model OpenMP-MPI a numerické experimenty byly provedeny na superpočítači Anselm.

Práce byla publikována v prestižním časopise International Journal for Numerical Methods in Engineering ve spolupráci s Alexandrem Veitem ze skupiny předního odborníka na metodu hraničních prvků, prof. Sautera z Curychu.

Jan Zapletal: Metoda hraničních prvků pro řešení úloh tvarové optimalizace ve 3D

Aktivní výzkum metody hraničních prvků (BEM) v průběhu posledních desetiletí umožnil tuto metodu použít v oblasti tvarové optimalizace, kde je třeba mnohokrát vyřešit danou stavovou úlohu modelující například šíření tepla či problémy elektrostatiky. V dizertační práci je představen algoritmus pro řešení úloh tvarové optimalizace založený na BEM, který může posloužit také pro řešení inverzních problémů včetně tzv. Bernoulliho úlohy s volnou hranicí. Pro diskretizaci návrhových proměnných, tedy hledaných tvarů, je použita metoda hierarchických sítí dobře známá z počítačové grafiky. V práci je rovněž popsána efektivní implementace BEM pro moderní procesory, které se běžně vyskytují v HPC prosředích a umožnují paralelismus na několika úrovních. Teoretická část práce je podpořena numerickými experimenty prokazujícími škálovatelnost navržených přístupů a efektivitu hierarchického algoritmu.

Dizertační práce byla oceněna Cenou Josepha Fouriera v oblasti počítačových věd a Cenou Prof. Babušky za rok 2017.